SUPERFICIES

Se llama superficie al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación del tipo f(x, y, z) = 0.
Definición:
Se dice que dos puntos distintos son simétricos con respecto a un plano si y solamente si el plano es perpendicular al segmento que los une en el punto medio.
Definición:
Se dice que una superficie es simétrica con respecto a un plano de simetría d si el simétrico de cada punto de la superficie respecto del plano d es también un punto de la superficie.

Construcción de una superficie.

Construir una superficie es muy complicado, por ello se han diseñado otras estrategias para hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir los siguientes puntos en la construcción de cualquier superficie:
En las intercepciones con los ejes, los puntos tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0, y, 0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la ecuación de la superficie, satisfacen la misma, y al hacerlo, podemos encontraren valor de x, y y z.
Verificar los interceptos con los ejes coordenados:
Un razonamiento similar al de los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes coordenados, entonces aquí buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos correspondientes tienen la siguiente expresión: en el plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y, z), que como pertenecen también a la superficie, deben satisfacer su ecuación, por lo que al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuación de la superficie se determina la curva correspondiente (la ecuación) de la traza en sus planos respectivos.
Verificar las trazas:
Para verificar la simetría de una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:
Tabla de simetría

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando las variables x, y y z son reemplazadas por: La superficie es simétrica respecto al:
-x, y, z Plano YZ
x, -y, z Plano XZ
x, y, -z Plano XY
-x, -y, z Eje Z
-x, y, -z Eje Y
x, -y, -z Eje X
-x, -y, -z Origen
Verificar la simetría de la superficie.
Para hacerlo, se trazan planos paralelos a la superficie para observar que curva se forma cuando se interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x, y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k = y y en el plano YZ(k, y, z), k = x.
Verificar secciones.
Definir la extensión de la superficie.
Simplemente se refiere al alcance que tiene la superficie, es decir, cuales son sus límites, si está definida dentro de un intervalo de valores para las variables o no, etcétera.