ESPACIO VECTORIAL
Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se
han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es
una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que
siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se
constituyen como espacios vectoriales: Matrices de n×n ; P(n) (polinomios),
funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto
IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar
entonces definimos las siguientes operaciones:
^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u •^v = x1 •
x2 + y1 • y2
Y además se satisfacen los siguientes axiomas:
Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c
escalares, entonces:
^u + ^v = ^v + ^u
(^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
^u + 0 = 0 + ^u = ^u
^u + ( - ^u) = 0
a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
a(^u + ^v) = a^u + a^v
(a + b)^u = a^u + b^v
1^u = ^u
^u•^v = ^v•^u
^u(^v + ^w) = ^u•^v + ^u•^w
c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
0•^u = 0
^u•^u = |^u|2
Dos vectores son perpendiculares ó ^u•^v = 0
En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera
y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de
leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además,
si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos
los demás elementos que componen dicha gráfica:
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto
(x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes
conclusiones:
|| ^u || = (x² + y²)½
Cos(q) = x / || ^u ||
Sen(q) = y / || ^u ||
Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en
la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y.
La dirección de un vector de posición está dada por el
ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.
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