CONSTRUCCIÓN DE VOLUMENES

Por volumen entendemos una porción del espacio limitada por una o más superficies, si un volumen está limita solo por una superficie, tal como un elipsoide, dicho volumen puede representarse mediante la construcción de una superficie, si un volumen está limitado por una o más superficies, su construcción requiere la construcción de cada superficie que lo forma y de sus curvas de intersección, veamos dos ejemplos:

EJEMPLO 1: Construir el volumen limitado por las superficies x² + y² = 4 y x + y – z = 0.
Solución: La superficie que se desea está limitada por la superficie del cilindro circular recto x² + y² = 4, el plano x + y – z = 0 y los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0. Construimos primero una parte del cilindro en el primer octante. El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se puede construir mediante sus trazas sobre los planos XZ y YZ. Luego construimos la curva de intersección de este plano y el cilindro; para obtener cualquier punto P de esta curva, empleando un plano de corte paralelo al plano XZ, lo hacemos como indica la siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la línea llena.

EJEMPLO 2: Construir el volumen limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y = 3z , x – y + 1 = 0, x = 0 y z = 0 y que está a la izquierda del plano x – y + 1 = 0.
Solución: La porción de la curva de intersección del cilindro parabólico recto x² + 2y = 4 y el plano 2y = 3z aparece en la última figura por el arco AB. El plano x – y + 1 = 0 corta al arco AB en el punto D, al cilindro en la generatriz CD, al plano 2y = 3z en la recta DE y al eje Y en el punto F , entonces el volumen requerido, que aparece en la línea gruesa, está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del plano 2y = 3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano x = 0 y AOFC del plano z = 0.