LUGAR GEOMÉTRICO Y DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

LUGAR GEOMÉTRICO

El ligar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntos y solo de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El hallar la ecuación de la curva y todas sus propiedades es un problema de lugar geométrico, donde se busca una expresión matemática que describa la situación.

Lugar geométrico de la recta en 3 dimensiones.

Dados dos puntos fijos la recta se describe por aquellos puntos que se mueven a lo largo del vector que describen esos dos puntos en dirección contraria.

Ecuaciones paramétricas.

La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número real t.

Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0, respectivamente, entonces:

è P0P = t^v

è P0P = r – r0

è r = r0 + t^v (1)

Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,

x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct

y éstas se denominan ecuaciones paramétricas (vea la gráfica).

Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas o estándar:

(X – x0) / a = (y – y0) / b = (z – z0) / c

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante:

P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0

d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² + B²)½ (1)

y otra alternativa es calcularla de forma vectorial la cual está dada por:

d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L |, donde K y L son vectores determinados, aquí el procedimiento que se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula (1).